数据库原理：关系数据库

本章介绍关系的定义和性质、关系模式和关系数据库模式，以及关系的码和关系的完整性。

本章学习目标：了解域和笛卡儿积的概念；掌握关系的性质；掌握关系模式的概念和性质；掌握关系的码、关系模型的数据结构、关系的完整性约束。

一、关系的形式化及性质

1.1、关系的形式化定义

1.1.1、域

域(Domain)是一组具有相同数据类型的值的集合，又称为值域（用D表示）。例如，整数、实数和字符串的集合都是域。域中所包含的值的个数称为域的基数（用m表示）。例如，以的教师关系t为例：

D_1=\{刘杨，石丽，顾伟，赵礼，赵希希，张刚\}， m_1=6;

D_2=\{男，女\}， m_2=2;

D_3=\{26, 30, 32, 36, 40, 50\}, m_3=6。

其中，D1、D2、D3，分别表示教师关系中的姓名域、性别域和年龄域。

1.1.2、笛卡儿积

给定一组域 $D_1$ , $D_2$ ,…, $D_n$ （它们包含的元素可以完全不同，也可以部分或全部相同），其笛卡儿积(Cartesian Product)为

D_1 * D_2 * ... * D_n=\{(d_1, d_2, ..., d_n)|d_i \in D_i, i=1, 2, ..., n\}。

笛卡儿积是一个集合。对于笛卡儿积，有以下几点需注意。

(1)每一个元素 $(d_1, d_2, …, d_n)$ 中的每一个值 $d_i$ 叫作一个分量(Component)，分量来自相应的域 $(d_i \in D_i)$ 。

(2)每一个元素 $(d_1, d_2, …, d_n)$ 叫作一个n元组(n-Tuple)，简称元组(Tuple)。但元组是有序的，相同分量 $d_i$ 的不同排序所构成的元组不同。例如，以下3个元组是不同的： (1, 2, 3) ≠ (2, 3, 1) ≠ (1, 3, 2)。

(3)若 $D_i(i=1, 2, ..., n)$ 为有限集， $D_i$ 中的集合元素个数称为 $D_i$ 的基数，用 $m_i(i=1, 2,…,n)$ 表示，则笛卡儿积 $D_1*D_2*...*D_n$ 的基数M［即元组 $(d_1, d_2, …, d_n)$ 的个数］为所有域的基数的累乘之积。例如，上述教师关系中的姓名域 $D_1$ 和性别域 $D_2$ 的笛卡儿积为 $D_1 * D_2$ ={（刘杨，男），（刘杨，女），（石丽，男），（石丽，女），（顾伟，男），（顾伟，女），（赵礼，男），（赵礼，女），（赵希希，男），（赵希希，女），（张刚，男），（张刚，女）}。其中，刘杨、石丽、顾伟、赵礼、赵希希、张刚、男、女都是分量，（刘杨，男）、（刘杨，女）等是元组， $D_1 * D_2$ 的基数 $M=m_1*m_2=6 * 2=12$ ，即集合中元组的个数为12。

(4)笛卡儿积可用二维表的形式表示。例如，笛卡儿积D1xD2可表示为下表。

tn	sex
刘杨	男
刘杨	女
石丽	男
石丽	女
顾伟	男
顾伟	女
赵礼	男
赵礼	女
赵希希	男
赵希希	女
张刚	男
张刚	女

可以看出，笛卡儿积是集合，集合也可以用二维表来表示，表的每一列由对应的域构成，表的每一行就是集合的一个元组。

1.1.3、关系

笛卡儿积 $D_1 * D_2 * ... * D_n$ 的任一子集称为定义在域 $D_1, D_2, ..., D_n$ 上的n元关系(Relation)，可用 $R (D_1, D_2, …, D_n)$ 表示。其中，R表示关系的名字，n是关系的目或度(Degree)。例如，笛卡儿积 $D_1 * D_2$ 的某个子集可以构成教师关系T1，如下表所示。

tn	sex
刘杨	男
石丽	女
顾伟	男
赵礼	女
赵希希	女
张刚	男

下面是几点说明。

(1)在关系R中，n=1为单元关系，n=2为二元关系，以此类推。例如，教师关系为二元关系。

(2) 关系中的元组常用t表示，关系中元组个数是关系的基数。例如，教师关系的基数为6。

(3)关系中的不同域（列）的取值可以相同，为了加以区别，必须对每个域（列）起一个名字，称为属性，n元关系必有n个属性，属性的名字唯一；属性的取值范围称为值域，等价于对应域 $D_i(i=1, 2, .…, n)$ 的取值范围。具有相同关系框架的关系称为同类关系。

(4)在数学上，关系是笛卡儿积的任意子集，但在实际应用中，关系是笛卡儿积中所取的有意义的子集。例如，上表就是一个有意义的子集。

从关系模型的角度，关系可进一步定义如下。

定义在域 $D_1, D_2, ……, D_n$ （不要求完全相异）上的关系由关系头(Heading)和关系体(Body)组成。

关系头由属性名 $A_1,A_2,...,A_n$ 的集合组成，每个属性 $A_i$ 对应一个域 $D_i (i=1, 2, …, n)$ 。关系头（关系框架）是关系的数据结构的描述，它是固定不变的。关系体是指关系结构中的内容或者数据，它随元组的插入、删除或修改而变化。

1.2、关系的性质

在关系模型中，关系具有以下性质。

(1)列是同质的，即每一列中的分量必须来自同一个域，必须是同一类型的数据。

(2)不同的属性可来自同一个域，但不同的属性必须有不同的名字。例如，假设某关系中有两个属性“职业”和“兼职”，它们可以来自同一个域{教师，工人，辅导员}。

(3)列的顺序可以任意交换。但交换时，应连同属性名一起交换，否则将得到不同的关系。

(4) 关系中元组的顺序（即行序）可任意，在一个关系中可以任意交换两行的次序。因为关系是以元组为元素的集合，而集合中的元素是无序的，所以作为集合元素的元组也是无序的。

(5)关系中不允许出现相同的元组。因为数学上集合中没有相同的元素，而关系是元组的集合，所以作为集合元素的元组应该是唯一的。

(6)关系中每一分量必须是不可分的数据项，也就是说，不能出现“表中有表”的现象。满足此条件的关系称为规范化关系，否则称为非规范化关系。

例如，下表1是非规范化关系。可以把其中的属性“籍贯”分成两个新的属性，即“省”、“市／县”，将其规范化，如下表2所示。

表1：非规范化关系

姓名	籍贯	籍贯
	省	市 / 县
张强	吉林	长春
王丽	山西	大同

表2：规范化关系

姓名	省	市 / 县
张强	吉林	长春
王丽	山西	大同

二、关系模式与关系数据库模式

2.1、关系模式

关系数据库中，关系模式是型，关系是值。关系模式(Relation Schema)是对关系的描述。

关系的描述称为关系模式。它可以形式化地表示为以下形式。

R(U,D,DOM,F)

可以看出，一个关系模式应当是一个五元组。其中，R为关系名；U为组成该关系的属性名集合；D为属性组U中属性所来自的域；DOM为属性向域的映像集合；F为属性间数据的依赖关系集合。属性间的数据依赖F将在第12章中进行讨论，而域名D及属性向域的映像DOM 常常直接说明为属性的类型、长度。因此，关系模式通常可简记为以下形式。

R(U)或R(A_1,A_2,...,A_n)

其中， $A_1,A_2,...,A_n$ 为各属性名。

关系是关系模式在某一时刻的状态或内容。也就是说，关系模式是型，即关系头；而关系是值，即关系体。关系模式是关系的框架（或者称为表框架），是对关系结构的描述，它是静态的、稳定的；而关系是动态的、随时间不断变化的，它是关系模式在某一时刻的状态或内容，这是因为关系的各种操作在不断更新数据库中的数据。但在实际中，人们常常把关系模式和关系统称为关系，读者可以通过上下文加以区别。

例如，在第1章的表1~1至表1-5所示的教学数据库teaching中，共有5个关系，其关系模式可分别表示如下。

教师（教师号，姓名，性别，年龄，职称，工资，专业，院系）
学生（学号，姓名，性别，年龄，专业，院系）
课程（课程号，课程名，课时）
选课（学号果，成绩）
授课（教号程号，开课日期）

对于上述每个关系模式，又有其相应的实例。例如，在第1章的表1-1中，与教师关系模式对应的数据库中的实例如表2-5所示。

t1	刘杨	男	40	教授	3610.5	计算机	信息学院
t2	石丽	女	26	讲师	2923.3	信息	信息学院
t3	顾伟	男	32	副教授	3145	计算机	信息学院
t4	赵礼	女	50	教授	4267.9	自动化	工学院
t5	赵希希	女	36	副教授	3332.67	数学	理学院
t6	张刚	男	30	讲师	3012	自动化	工学院

2.2、关系数据库模式

在关系模型中，实体及实体间的联系都是用关系来表示的。例如，学生实体、课程实体、学生与课程之间的多对多联系都可以分别用一个关系来表示。在一个给定的应用领域中，所有实体及实体之间联系所对应的关系的集合构成一个关系数据库。

关系数据库也是有型和值之分的。关系数据库的型称为关系数据库模式，是对关系数据库的描述，它包括若干域的定义以及在这些域上定义的若干关系模式。因此，关系数据库模式是对关系数据库结构的描述，或者说是对关系数据库框架的描述。而关系数据库的值也称为关系数据库，是关系模式在某一时刻对应的关系的集合。也就是说，与关系数据库模式对应的数据库中的当前值就是关系数据库的内容，称为关系数据库的实例。

例如，第1章表1-1～表1-5所示的教学数据库teaching是5个关系的集合，或者说是5个关系头和5个关系体的集合。其中，各个关系头相对固定，而关系体的内容会随时间而变化。

三、关系的码和关系的完整性

3.1、候选码和主码

3.1.1、候选码

能唯一标识关系中元组的一个属性或属性集，称为候选码(Candidate Key)，也称候选关键字或候选键，在后续章节中，统一称为候选码。例如，课程关系中的课程号能唯一标识每一门课程，则属性“课程号”是课程关系的候选码。在授课关系中，只有属性的组合“教师号＋课程号”才能唯一地区分每一条授课记录，则属性集“教师号＋课程号”是授课关系的候选码。

下面给出候选码的形式化定义。

设关系R有属性 $A_1, A_2, …, A_n$ ，其属性集 $K=(A_1, A_2, …, A_k)$ ，当且仅当满足下列条件时，K被称为候选码。

(1)唯一性(Uniqueness)，关系R的任意两个不同元组，其属性集K的值是不同的。

(2)最小性(Minrum)，组成关系键的属性集 $(A_1, A_2, …, A_k)$ 中，任一属性都不能从属性集K中删掉，否则将破坏唯一性的性质。

例如，选课关系中“学号＋课程号”的组合是唯一的，同时，“学号＋课程号”满足最小性，从中去掉任一属性，都无法唯一标识选课记录。

3.1.2、主码

如果一个关系中有多个候选码，可以从中选择一个作为查询、插入或删除元组的操作变量，被选用的候选码称为主码(Primary Key)，或称为主关系键、主键、关系键、关键字等，后续章节中，统一称为主码。

列如，假设在学生关系中增加了一个属性“身份证号”，则“学号”和“身份证号”都可作为学生关系的候选码。如果选定“学号”作为数据操作的依据，则“学号”为主码。如果选定“身份证号”作为数据操作的依据，则“身份证号”为主码。

主码是关系模型中的一个重要概念。每个关系必须选择一个主码，选定以后，不能随意改变。

3.1.3、主属性与非主属性

主属性(Prime Attribute)是指包含在主码中的各个属性。非主属性(Non-Prime Attribute)是指不包含在任何候选码中的属性，也称为非码属性。

在最简单的情况下，一个候选码只包含一个属性，如学生关系中的“学号”，教师关系中的“教师号”，在最极端的情况下，所有属性的组合是关系的候选码，这时称为全码(All-key)。

3.2、外码

如果关系 $R_2$ 的一个或一组属性X不是 $R_2$ 的主码，而是另一关系 $R_1$ 的主码，则该属性或属性组X称为关系 $R_2$ 的外码(Foreign Key)或外部关系键（在后续章节中统一称为外码），并称关系 $R_2$ 为参照关系(Referencing Relation)，关系 $R_1$ 为被参照关系(Referenced Relation)。

例如，第1章表1-4所示的选课关系sc中的字段“学号” (sno)和“课程号” (cno)分别是学生关系s和课程关系c中的主码，则在选课关系sc中，sno和cno称为外码。这时，选课关系sc称为参照关系，学生关系s和课程关系c称为被参照关系。

由外码的定义可知，被参照关系的主码和参照关系的外码必须定义在同一个域上。如选课关系sc中的外码sno与学生关系s中的主码sno要定义在同一个域上，同理，其外码cno与课程关系c的主码cno也要定义在同一个域上。

3.3、关系的完整性

为了维护关系数据库中数据与现实世界的一致性，对关系数据库的插入、删除和修改操作必须有一定的约束条件，这些约束条件实际上是现实世界的要求。任何关系在任何时刻都要满足这些语义约束。

关系模型中，有3类完整性约束，即实体完整性(Entity Integrity)、参照元整性(Referential Integrity)和用户自定义完整性(User-defined Integrity)。其中，实体完整性和参照完整性是关系模型必须满足的完整性约束条件，称作关系的两个不变性。任何关系数据库系统都应该支持这两类完整性。除此之外，不同的关系数据库系统由于应用环境的不同，往往还需要一些特殊的约束条件，这就是用户自定义完整性，用户自定义完整性体现了具体领域中的语义约束。

3.3.1、实体完整性

实体完整性是指主码的值不能为空或部分为空。

关系模型中的一个元组对应一个实体，一个关系则对应一个实体集。例如，一条课程记录对应一门课程，课程关系对应课程的集合。现实世界中的实体是可区分的，即它们具有某种唯一性标识。与此相对应，关系模型中以主码来唯一标识元组。例如，课程关系中的主码“课程号”(cno)可以唯一标识一门课程实体。如果主码中的值为空或部分为空，即主属性为空，则不符合关系键的定义条件，不能唯一标识元组及与其相对应的实体。这就说明存在不可区分的实体，从而与现实世界中的实体可以区分的事实相矛盾。因此，主码的值不能为空或部分为空。

例如，课程关系中的主码“课程号”不能为空，授课关系中的主码“教师号＋课程号”不能部分为空，即“教师号”和“课程号”两个字段的取值都不能为空。

3.3.2、参照完整性

如果关系 $R_2$ 的外码X与关系 $R_1$ 的主码相符，则X的每个值，或者等于 $R_1$ 中主码的某一个值，或者取空值。

例如，在图2-1中，学生关系s的字段“院系” (dept)与院系关系d的主码“院系” (dept)相对应，因此，学生关系s的字段dept是该关系的外码，学生关系s是参照关系，院系关系d是被参照关系。学生关系中某个学生（如s1)“院系”的取值，必须在院系关系中主码“院系”的值中能够找到，否则表示把该学生分配到一个不存在的院系，这显然不符合语义。如果某个学生（如s9)“院系”取空值，则表示该学生尚未分配到任何一个院系；否则，它只能取院系关系中某个元组的院系值。

再如，如果按照参照完整性规则，选课关系sc中的外码“学号”和“课程号”可以取空值或者取被参照关系中已经存在的值，但由于“学号＋课程号”是选课关系中的主码，根据实体完整性规则，两个属性都不能为空，所以选课关系中的外码“学号”和“课程号”只能取被参照关系中已经存在的值。

3.3.3、用户自定义完整性

用户自定义完整性是针对某一具体关系数据库的约束条件，它反映某一具体应用所涉及的数据必须满足的语义要求。例如，属性值根据实际需要，要具备一些约束条件，如规定选课关系中成绩属性的取值在0到100之间。又如，某些数据的输入格式要有一些限制等。关系模型应该提供定义和检验这类完整性的机制，以便用统一的、系统的方法处理它们，而不要由应用程序承担这一功能。